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Uso de vectores en Física

  Invariancia y vectores Muchas leyes físicas tienen la propiedad llamada invariancia (que no varían) frente a transformaciones de coordenadas, concretamente presentan invariancia respecto a la traslación y a la rotación de los ejes coordenados. Por ejemplo, pensemos en una fuerza aplicada sobre un objeto de masa m = 1Kg tal que su magnitud es de 10N y su dirección forma un ángulo de 45 con el eje X, siendo su sentido positivo. Esa fuerza provocará una aceleración sobre el cuerpo, de magnitud dada por la ley de Newton a = F / m = 10N / 1Kg = 10 m/s² y dirección coincidente con la de la fuerza. Si nos preguntamos qué cambiará cuando movemos los ejes de coordenadas hacia la derecha, y los giramos 30 grados en sentido antihorario, la respuesta es que la aceleración será exactamente la misma pero el vector que la representa tendrá unas componentes distintas, relativas al nuevo eje de coordenadas. Fig. 1: La aceleración producida por la fuerza no depende de la traslación o rotación de los
Cálculo en R -> Topología de R -> Problemas

Problemas resueltos de Topología de R

1. Razonar (no demostrar rigurosamente, solo razonar) que, dado un intervalo cerrado [a, b], su conjunto de puntos interiores será el intervalo abierto (a, b).


Solución

Para todos los puntos x de (a, b) podemos escoger un radio r > 0 lo suficientemente pequeño para que el entorno B(x, r) quede dentro de (a, b); pero esto no es cierto para los extremos a , b del intervalo, ya que en ellos cualquier entorno B(a, r) y B(b, r) tendrá puntos que no son de [a, b]. Por tanto los únicos puntos no interiores de [a, b] son los extremos a, b, y el interior del intervalo cerrado es el abierto (a, b).

En el intervalo cerrado [0,5], podemos definir entornos interiores de cualquier punto, como por ejemplo x = 3, excepto en los extremos, como en x = 0, donde cualquier entorno por pequeño que sea "se sale" del intervalo por la izquierda.


2. Razonar que Int (A ∪ B) = Int (A) Int(B), donde "Int" representa el conjunto de puntos interiores del conjunto.

Solución
 
Supongamos que existe un punto x del interior de ∪ B que no pertenece ni a Int(A) ni a Int(B). Por ser de Int(∪ B), podrá rodearse de un entorno de puntos E(x, r) todos de ∪ B, esto es, de puntos que o son de A o son de B. Pero  hemos supuesto que x  no pertenece ni a Int(A) ni a Int(B), lo cual implica que no existe ningun r > 0 tal que E(x, r) esté contenido ni en A ni en B, esto es, que todos sus puntos sean de A o sean de B. Tenemos una contradicción. Por tanto, si x es del interior de ∪ B, entonces x pertenece a  Int(A) o a Int(B), esto es, Int (A ∪ B) = Int (A)  Int(B).


3. Dado el conjunto A = [-6, 5]  (-2, 0) ∪ {2} (3, +∞), obtener:

a) Puntos interiores y puntos exteriores
b) Puntos frontera
c) Puntos de adherencia
d) Puntos de acumulación



Solución

a) El interior del conjunto A será la unión de los conjuntos interiores (ver problema 2):

Int A = Int [-6, 5]   Int(-2, 0) ∪ Int{2} ∪ Int(3, +∞)

Int [-6, 5] = (-6, 5) por el ejercicio 1
Int(-2, 0) = (-2, 0) porque el interior de un conjunto abierto es el propio conjunto
Int{2} = Ø porque un punto aislado no tiene puntos interiores
Int(3, +∞) = (3, +∞) porque es un abierto

Queda: Int A = (-6, 5)   (-2, 0) ∪ (3, +∞)

b) Un punto c de A es un punto frontera de A si en todo entorno B(c, r) de c encontramos tanto puntos que son de A, como puntos que no son de A. Los extremos de los intervalos tanto abiertos como cerrados son puntos frontera, y los puntos aislados también lo son:

Frontera A = {-6, 5, -2, 0, 2, 3}

c) Usamos una de las propiedades de los teoremas vistos en la teoría

Adh(A) =
Int(A) ∪ Front(A) = 
Int [-6, 5]   Int(-2, 0) ∪ Int{2} ∪ Int(3, +∞)  {-6, 5, -2, 0, 2, 3}  =
 [-6, 5]   [-2, 0] ∪ {2} ∪ [3, +∞)

d)  Usamos otra de las propiedades de los teoremas vistos en la teoría Adh(A) = Acum(A) ∪ Aisl(A), por tanto Acum(A) = Adh(A) - Aisl(A) = [-6, 5]   [-2, 0]  ∪ [3, +∞)

4. ¿Es compacto el conjunto A = {números x reales tales que 0 ≤ x² < 1} ?

Solución:


Siendo que x² < 1 implica que |x| < 1, y que 0  ≤ x² implica que 0  ≤ |x|, podemos expresar el conjunto A con intervalos: A = (-1, 0]   [0, 1) = (-1, 1) que es un intervalo abierto. Como todos los conjuntos compactos en R son cerrados (ya acotados), A no puede ser compacto.   

5. Sea C un conjunto compacto y A un intervalo abierto de R. ¿Es compacto C ∩ A?

Solución:

Evidentemente si A está incluido en C, es  C ∩ A = A que es un abierto, y por tanto no es un compacto.
En el otro extremo, si C está incluido en A, entonces  C ∩ A = C que es compacto.
Si C ∩ A =  Ø , el conjunto vacío se considera compacto.
El último caso és el que da más trabajo: si A no está incluido en C ni C en A, pero C ∩ A no está vacío.

  1. Pensemos en un punto x que pertenezca a la frontera de A y a C simultáneamente. Tendremos que:
  2. Como el punto x pertenece a la frontera de A,  en todo entorno E(x, r) habrán tanto puntos de  A como puntos que no son de A
  3. En todo entorno E(x, r) además habrán puntos de C (como mínimo el propio x). 
  4. Por tanto en todo entorno E(x, r) habrán puntos de C ∩ A y puntos que no son de C ∩ A: esto implica que x pertenece a la frontera de C ∩ A.
  5. Pero en un conjunto cerrado, todos los puntos de la frontera pertenecen al conjunto; en cambio, hemos visto que x pertenece a la frontera de C ∩ A y no pertenece a  C ∩ A. 
  6. Por tanto  C ∩ A  no puede ser cerrado, ni compacto.



Comentarios

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