Sucesiones en R

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Sucesiones de números reales

Introducción

Las sucesiones son una buena forma de introducir los conceptos de límites de funciones y de series, que son conceptos básicos en Cálculo. Empezamos con algunas definiciones.

Definición 1: Sucesión de números reales.

Si tenemos una función f: N → R, donde N: conjunto de números naturales, R: conjunto de números reales, que a cada número natural n hace corresponder un número real x, diremos que tenemos definida una sucesión de números reales:
1 → x₁
2 → x₂
3 → x_{3
( . . .)}
 n → x_n

La notación para la sucesión será: (x_n). La expresión que permite obtener el término enésimo de la sucesión se denomina término general de la sucesión.

Ejemplos:

• El término general f(n) = x_n = 1/n define la sucesión 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...
• El término general f(n) = x_n = n  define la sucesión 1, 2, 3, ..., n, ...

Definición 2: algunos tipos de sucesiones.

• La sucesión (x_n) es acotada si el conjunto de números {x₁, x₂, ..., x_n, ...} es un conjunto acotado.
• La sucesión (x_n) es creciente si x_n ≤ x_n+1 para todo número natural n.
• La sucesión (x_n) es decreciente si x_n+1 ≤ x_n para todo número natural n.
• La sucesión (x_n) es monótona si es creciente o decreciente. 

Recordatorio: Si tenemos un conjunto cualquiera A de números reales, diremos que es acotado superiormente si existe algún número real z tal que z es mayor o igual que todos los elementos de A; en ese caso, el número z es una cota superior de A. Cualquier número z' > z tambien será cota superior de A. De parecida forma definimos las cotas inferiores y los conjuntos acotados inferiormente

Ejemplos:

• f(n) = 1/n, que define la sucesión 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... es decreciente, pues 1/ n < 1/(n+1) para todo número natural n. Por tanto es  monótona. Además, es acotada, pues es 1 ≤ {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...} < 0.
• f(n) = n, que define la sucesión 1, 2, 3, ..., n, ... , es creciente, pues n < n +1 para todo número natural n. Por tanto es  monótona. Además, es acotada inferiormente, pues es 1 ≤ {1, 2, 3, ..., n, ...}, pero no es acotada superiormente.
• La sucesión 0, 2, 0, 2², 0, 2³, 0, 2⁴, 0, ... no es creciente ni decreciente. Tampoco es acotada superiormente, pero si inferiormente, pues 0 ≤ {0, 2, 0, 2², 0, 2³, 0, 2⁴, 0, ...}

Propiedades de las sucesiones

Las sucesiones de R son infinitas numerables

Las sucesiones de números reales tienen infinitos términos; cuando un conjunto infinito tiene la propiedad de que podemos hacer corresponder a cada uno de sus elementos un número natural, decimos que el conjunto es infinito numerable. Así pues, las sucesiones de números reales definen conjuntos infinitos numerables.

Todos los puntos de las sucesiones de R son puntos aislados

El hecho de que la sucesiones sean infinitas numerables nos conduce a la siguiente propiedad: sea A el conjunto infinito numerable de los elementos de una sucesión real. Entonces todos los elementos de A son puntos aislados de A. Recordemos que un punto aislado x es aquel que puede rodearse de un entorno de radio r no nulo, en el cual no hay más puntos de A que el propio punto x. Para más detalles sobre la definición de punto aislado de un conjunto, ver por ejemplo el tema Topología de R en este blog, apartado 3 - Puntos notables de un conjunto. 

Para ver que esta afirmación es cierta, pensemos en un término cualquiera de la sucesión, sea x_n , y consideremos que x_n+1 y x_n-1 son los términos posterior y anterior respectivamente.  Sea d₁ la distancia entre x_n y  x_n+1, y sea d₂ la distancia entre  x_n y  x_n-1. Definimos d = minimo ( d₁,d₂ ). Entonces cogiendo cualquier radio r < d, se cumple que en el entorno B(x_n  , r) de centro x_n  y radio r  no puede haber ningun otro punto de la sucesión, pues estan más alejados. Por consiguiente x_n  es un punto aislado.

En la sucesión {0,1,2,3,4,...} cualquier punto x es aislado,
 pues para cada x existe un entorno suyo sin otros puntos.

Puntos de acumulación de una sucesión de R
Un punto de acumulación x de un conjunto A es aquel que, dado cualquier entorno del punto x de radio r > 0, siempre encontramos puntos de A dentro del entorno, a parte del propio punto x. No es necesario que el punto x pertenezca a A para poder ser punto de acumulación de A. De nuevo, en el tema Topologia de R puede consultarse la definición completa y ejemplos.

Hemos visto que todos los puntos de A son puntos aislados de A, por tanto no puede haber ningún término de la sucesión que sea punto de acumulación, sería una contradicción: si es aislado, hay entornos sin puntos de A, pero si es de acumulación, entonces ha de tener puntos de A en todo entorno de x. Por tanto, si existen puntos de acumulación de la sucesión, forzosamente esos puntos no pueden pertenecer a la sucesión.

Cuando las distáncias entre puntos de una sucesión {x1, x2, x3, x4, ...} se reducen indefinidamente,
existirá un punto de acumulación x, alrededor del cual encontramos puntos de la sucesión en entornos
arbitrariamente pequeños,  pero el propio x no puede pertenecer a la sucesión.

Consideremos ahora una sucesión monótona (la de la anterior imàgen lo es, pues es creciente). En estas sucesiones,  si existe un punto de acumulación de la sucesión, no puede haber otro, será único. No lo demostraremos, pero intuitivamente se puede ver que si la sucesión es, por ejemplo, creciente, y existe un punto de acumulación x, alrededor de este punto tendremos infinitos puntos de la sucesión que estarán a distancias arbitrariamente pequeñas sin llegar nunca a x, por lo que no puede existir otro punto de acumulación y > x, ya que la sucesión no llegarà nunca a alcanzar el punto x, entonces obviamente podemos pensar en entornos del punto y que no contienen ningún punto de la sucesión.

Si x es punto de acumulación de una sucesión monótona creciente,
entonces no puede existir un y > x que tambien sea de acumulación.

Tampoco podrá existir un segundo punto de acumulación y < x, pues si lo fuera, entonces la sucesión se acercaría progresivamente a y sin alcanzarlo nunca, y entonces el que quedaría fuera seria el punto x, que no podria ser de acumulación.

Estas propiedades nos llevan directamente a la siguiente definición, una de las más importantes del Análisi Matemático y del Cálculo: el límite de una sucesión.

Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes.

Definición 3: Si una sucesión tiene punto de acumulación x, entonces decimos que la sucesión es convergente, y llamamos a ese punto el límite de la sucesión, y lo escribimos como (x_n) → x,  o bien lim x_n = x. Si por el contrario no existe límite, decimos que la sucesión es divergente.

Propiedad 1: Si (x_n) → x, entonces para cualquier radio r > 0 existirá un número natural m tal que el entorno centrado en x de radio r, B(x, r), contendrà todos los puntos x_n de la sucesión posteriores a x_m
Esta propiedad se toma frecuentemente como definición de límite de una sucesión en textos de Cálculo de nivel más básico, en todo caso es equivalente a la que hemos visto.

Ejemplos

• La sucesión monótona decreciente  x_n = (1/n) es convergente y tiene límite x = 0. En efecto, el cero es punto de acumulación, pues dado un r > 0 cualquiera, en el entorno centrado en x = 0 de radio r, B(0, r), habrán siempre infinitos puntos de la sucesión: todos los x_m tales que  1/m < r ⇒  m > 1/r.  Por ejemplo, para r = 0.01, tomamos m > 1/0.01 = 100, los términos x₁₀₁ , x₁₀₂ , ..., están todos dentro del entorno B(0, 0.01). Además se cumple la propiedad 1, pues todos los términos de la sucesión a partir del  x₁₀₁  caen dentro del entorno B(0, 0.01). Fijémonos que el punto x = 0 no pertenece a la sucesión, pues ningún entero n cumple que 1/n = 0.
• La sucesión monótona creciente  x_n = n, con valores {1, 2, 3, ... }, no tiene límite: es divergente,  no existe ningún punto de acumulación. Para verlo, supongamos que existiera el límite x. Entonces aplicando la propiedad 1 para cada r > 0 existiría un término x_m tal que toda la sucesión estaría dentro del entorno B(x, r) a partir del teŕmino  x_m. Pero los puntos sucesivos de ( x_n ) están a una distancia entre ellos de la unidad, esto es, x_n+1 - x_n = 1 para todo n. Esto hace imposible que tengamos infinitos términos dentro de un entorno de radio r que no sea a su vez infinito. Luego no puede existir tal límite x. 

La sucesión {1, 2, 3, ...} no puede tener infinitos términos
incluidos en ningún entorno limitado B(x,r), luego
no existe límite ni punto de acumulación.

• La sucesión no monótona {1/2, -1/3, 1/4, -1/5, ...} tiene límite x = 0, luego es convergente. 

Definición 4:  ( x_n ) es una sucesión de Cauchy si para cualquier r > 0 existe un punto de la sucesión xp tal que | x_m -  x_n | < r para todos los n, m mayores que p.  Intuitivamente: la sucesión es de Cauchy si todos los términos se acercan entre ellos progresivamente.
Ejemplo: La sucesión monótona decreciente  x_n = 1/n es de Cauchy, pues dado un r > 0 cualquiera, la distancia | x_m -  x_n | será inferior a r siempre que tanto m como n sean mayores que p = 1/r. Por ejemplo, para r = 0.1, todos los términos posteriores a p = 1/0.1 = 10, que son 1/11, 1/12, 1/13, ..., cumplen el requisito de estar a una distancia menor que 0.1 .

Propiedades de las sucesiones de Cauchy

• Todas las sucesiones convergentes son de Cauchy.
• Las sucesiones de Cauchy son acotadas.
• Todas las sucesiones (de números reales) de Cauchy son convergentes. 
• Por tanto, en los números reales R, sucesión convergente ⇔ sucesión de Cauchy 

Nota: debido al hecho de que todas las sucesiones en R de Cauchy son convergentes, decimos que R tiene la estructura algebraica de un cuerpo completo. 

Propiedades de los límites. Cálculo de limites.

Propiedades aritméticas

Sean las sucesiones convergentes (x_n) → x , (y_n) → y 

1. (x_n + y_n) →  x +  y 
2. (x_n - y_n) →  x -  y
3. k(x_n) →  kx  para todo número real k
4. (x_n · y_n) →  x ·  y
5. (x_n / y_n) →  x /  y  siempre que y ≠ 0

Ejemplos

Nota: emplearemos la notación 1/exp(n) para representar  $\frac1{e^n}$

Hemos visto que  (1/n) → 0, además (1/exp(n)) → 0, pues  0 < 1/exp(n) < 1/n para todo n. Entonces:

•  (1 - 1/exp(n)) → 1 por la propiedad 2, siendo (1) la sucesión constante de términos 1, 1, 1, ...
• (1/n + 1 - 1/exp(n)) → 0 + 1 - 0 = 1  por las propiedades 1 y 2
• (10·(1 - 1/exp(n))) → 10·1 = 10 por las propiedades 2 y 3.
• (1/n - (1 - 1/exp(n)))  → 0 - (1 - 0) = -1 por la propiedad 2
• ((1/n)·(1 - 1/exp(n)))  → 0·(1-0) = 0 por las propiedades 2 y 4.
• (1/n)/(1 - 1/exp(n)) → 0 / 1 = 0 por las propiedades 2 y 5. 

Otras propiedades útiles para el cálculo de límites

1. Sean (x_n) , (y_n), (z_n) tales que (a) x_n  ≤  y_n  ≤  z_n, (b) lim (x_n) = lim (z_n) = L. Entonces  lim (y_n) = L.
2. Sea (x_n) acotada y (y_n) → 0. Entonces lim ( x_n·y_n ) = 0.
3. Si  (x_n) es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente, y su límite es el supremo del conjunto { x_n | n ∈ N }

Ejemplo

Sea  (x_n) = n / exp(n) ; es una sucesión decreciente, pues dado un término cualquiera  n / exp(n), el término siguiente (n +1) / exp(n+1) cumple que n / exp(n)  < (n +1) / exp(n+1)  , en efecto, n / (n+1) <  1, y por otro lado, exp(n+1) / exp(n) = exp(1) = e > 1. Además es acotada inferiormente: n / exp(n) > 0. Por la propiedad 3,  la sucesión  es convergente.

Límites infinitos

Definición 6: Definimos los símbolos +∞ y -∞ como las cotas superior e inferior, respectivamente, de los números reales R. Estos símbolos son útiles para el cálculo de límites. Supondremos que, para un número real x cualquiera, se verifican las siguientes reglas aritméticas:

x + (+∞) = +∞

x + (-∞) = -∞

-(+∞) =  -∞

-(-∞) =  +∞

x ·(+∞) = +∞ si x > 0 ,  -∞ si x < 0, en caso de que x = 0 el resultado es indeterminado

x ·(-∞) = -∞ si x > 0 ,  +∞ si x < 0, en caso de que x = 0 el resultado es indeterminado

1/+∞ = 1/-∞ = 0

(+∞) + (+∞)  = (+∞)

(-∞) - (-∞)  = (-∞)

En cambio no estan definidas las siguientes operaciones (no tienen solución):

(+∞) + (-∞), (-∞) + (+∞)

0·(+∞), 0·(-∞), (+∞)·0, (-∞)·0

(+∞) / (+∞), (+∞) / (-∞), (-∞) / (+∞), (-∞) / (-∞)

Definición 6: Diremos que el límite de la sucesión (x_n) es (+∞) si para todo número real r existe un número natural n₀  tal que x_n > r siempre que n > n₀ . En lenguaje coloquial diremos que siempre hay números  x_n en la sucesión más grandes que cualquier número r que tomemos. De forma análoga se define el límite (-∞).

Ejemplo: lim (n²) = +∞ , en efecto, dado un r cualquiera, tomando n₀ = √n tenemos que n² > r siempre que n > n₀ . Sea por ejemplo r = 10⁶; entonces n₀ = √10⁶ = 10³ . Para n > 10³ será n² > 10⁶.

Algunas reglas prácticas para el cálculo de límites

1. El límite de una expresión polinómica lim a_kn^k + a_k-1n^k-1 + a_k-2n^k-2 + ... + a₁n¹ + a₀   es  +∞  si a_k > 0 o bien -∞  si a_k < 0. Dicho en claro: los polinomios tienen límite infinito, con signo igual al del coeficiente de mayor exponente. 
2. El límite del cociente de polinomios lim (a_kn^k + a_k-1n^k-1 + a_k-2n^k-2 + ... + a₁n¹ + a₀ ) / (bpnp + b_p-1n^p-1 + b_p-2n^p-2 + ... + b₁n¹ + b₀ )  es ±∞ si k > p, 0 si k < p, a_k / bp si k = p. Dicho en claro: las fracciones polinómicas tienen límite infinito si el exponente mayor está en el numerador, cero si está en el denominador, y si los exponentes son iguales, se toma el cociente de los coeficientes de mayor grado.
3. Criterio de Stolz: Si la sucesión y_n →  +∞ y además lim (x_n - x_n-1) /  (y_n - y_n-1 ) = L ∈ R, entonces lim (x_n) /  (y_n) = L. 

Ejemplos

• lim n² -10n -100 = +∞ por la regla 1
• lim -n² +1000n +100000 = -∞ por la regla 1
• lim (n² -10n -100) / (n + 2) = +∞ por la regla 2
• lim (n² -10n -100) / (n³ + 2) = 0 por la regla 2
• lim (n² -10n -100) / (n² + 2) = 1 por la regla 2
• Calculemos lim (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...) / n por el criterio de Stolz: cogemos (y_n) = (n),  (x_n) = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...), como  lim (x_n - x_n-1) /  (y_n - y_n-1 ) = lim ((1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ) - (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1) )) /  (1) ) = lim 1/n = 0, y (y_n ) →(+∞) , tenemos que lim (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...) / n = 0

Límites inferiores y superiores

Si tenemos una sucesión (x_n) podemos considerar los números S_m = supremo { x_m , x_m+1 , x_m+2 , ...} y I_m = ínfimo { x_m , x_m+1 , x_m+2 , ...}. Nota: recordemos que el supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, esto es, el menor número que es mayor que todos los del conjunto. si además el supremo pertenece al conjunto, se dice que es el máximo del conjunto. Similar descripción tiene el ínfimo y el mínomo de un conjunto.

Definición 7: El límite inferior de una sucesión (x_n) es igual al supremo del conjunto {I_m | m ∈ N }

lim inf (x_n) = Sup {I_m | m ∈ N } = Sup {Inf { x_m , x_m+1 , x_m+2 , ...} | m ∈ N }

Mientras que el límite superior de una sucesión (x_n) es igual al ínfimo del conjunto {S_m | m ∈ N }

lim sup (x_n) = Inf {S_m | m ∈ N } = Inf {Sup { x_m , x_m+1 , x_m+2 , ...} | m ∈ N }

Ejemplo
Para la sucesión (x_n) = 1 / (n+1) tenemos que:

• S_m = Sup {1/m, 1/(m+1), ...}  = 1/m, pues la sucesión es decreciente
• _Im = Inf {1/m, 1/(m+1), ...}  = 0, pues es el único elemento no negativo menor que todos los términos de la sucesión
• lim inf (x_n) = Sup {I_m | m ∈ N } = Sup {{{0}| m ∈ N } = 0
• lim sup (x_n) = Inf {S_m | m ∈ N } = Inf {1/m | m ∈ N } = 0

Por tanto para esta sucesión coinciden los límites superior e inferior. 

Propiedades de lim sup (x_n) y de lim inf (x_n)

•  lim sup (x_n) ≥ lim inf (x_n)
• (x_n) es una sucesión convergente si y sólo si coinciden sus límites superior e inferior

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